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Matemáticas y música

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Las matemáticas apuntalan tanto de nuestro mundo moderno que es difícil imaginar la vida sin ellas, pero ¿de dónde vienen exactamente? ¿Nos las inventamos o es algo que descubrimos?

Los antiguos griegos no tenían dudas al respecto.

Al filósofo Pitágoras y sus seguidores los cautivaba tanto los patrones matemáticos que creían que los números eran un regalo divino, y parte de su fascinación era resultado de sus experimentos con la música.

Con ellos, descubrieron patrones que vinculaban los sonidos y sus relaciones con las proporciones numéricas de las que dedujeron la hermosura y lo placentero de la música.

Para ellos, eso no podía ser coincidencia: era una ventana a los mundos de los dioses.

Matemática armoniosa

“Cualquier sonido que escuches es producido por algo que se está moviendo. Si haces que la cuerda se vibre, produce un sonido”, le explica el matemático y músico Ben Sparks a la BBC

Pitágoras (c 560-c 480 a.C.) demostrando la relación matemática reconocida entre la longitud de la cuerda vibrante, la columna de aire o el tamaño del instrumento de percusión y las notas de escala musical. Tallado de Theo Gafurius ‘Theoricum opus musicae disciplinae’, 1480. Getty Images

“Lo que notaron los griegos es que puedes hacer que la cuerda vibre dos veces más rápido, reduciendo su longitud a la mitad”.

Entonces, si tocas la cuerda tensa, produces una nota. Si la vuelves a tocar pero pinzando la cuerda en el medio, inmovilizas parte de ella y sólo vibra la otra mitad, que producirá otra nota parecida pero definitivamente diferente.

Violonchelo y relación

“Eso es lo que llamamos una octava“, señala Sparks.

“En la octava, la relación de frecuencias es de 2:1”.

¿Habrá otras fracciones que suenen bien?, se preguntaron los griegos. Y efectivamente encontraron que otras divisiones de la cuerda en proporciones progresivas, producían sonidos considerados hermosos y bien proporcionados.

Sonidos como la quinta justa, en la que la proporción es de 3:2, es decir que la nota alta es dos tercios la longitud de la nota baja.

Pero, ¿qué sucede cuando tocas algo que no es una de esas fracciones ordenadas?

“Cuando las notas no están en estas proporciones simples, tendemos a notarlo aunque no estemos al tanto de las matemáticas”, asegura Sparks.

Los griegos encontraron que al pulsar otros fragmentos de la cuerda -demasiado próximas o mucho más lejanas y en una proporción difícil a la nota fundamental- producían sonidos desagradables a sus oídos.

En la quinta justa, el artista toca la cuerda primero sin interferir con sus dedos y luego apretando la cuerda 1/3 más abajo, de manera que sólo vibre el resto. BBC

¿Por qué razón otra existirían esos patrones si no para revelarnos el reino de los dioses?, pensaban los pitagóricos.

La música del Cosmos

“Para Pitágoras y sus seguidores, era importante descubrir el principio que ordenaba todo y lo encontraron en los números”, le dice a BBC Mundo el comentarista musical Ricardo Rozental.

“Explicaron las proporciones en las que se podían producir sonidos agradables y con los que era posible hacer una música que gustara al oído y, en consecuencia, favoreciera al espíritu y la inteligencia“.

La paciente observación del cielo arrojó conclusiones similares respecto del movimiento de los planetas y las estrellas, que no discurrían al azar sino en ciertos patrones que pudieron explicarse con proporciones numéricas.

La antigua teoría de la Musica Universalis o la armonía de las esferas, que sostiene que los planetas se mueven de acuerdo con las ecuaciones matemáticas y por lo tanto resuenan para producir una sinfonía inaudible, se la debemos a los pitagóricos. 

“La conclusión apoyó la idea de que los movimientos de los cuerpos celestes y los sonidos placenteros se relacionaban de la misma manera, es decir, por las mismas proporciones matemáticas”, agrega el experto.

“De allí la noción de cosmos como el todo ordenado según un mismo patrón explicable numéricamente”.

Las bajas pasiones

Una bella melodía que empleara las notas correctas, para los antiguos griegos, era así porque en ella se habían empleado adecuadamente las proporciones numéricas que se encontraban en consonancia con los astros.

Las relaciones entre lo más grande y lo más pequeño actuaban en conjunto y hacían posible comprender el principio que lo juntaba todo de la forma ordenada y armoniosa en que operaba.

Entonces, ¿cómo se explicaban los sonidos desagradables?

Pitágoras, con su música y sus cuerpos celestes, en perfecta armonía. 

“Como también era posible producirlos, los pitagóricos entendieron que deberían evitarse puesto que eran capaces de producir consecuencias tremendas en quienes los escucharan, ya que alterarían el buen equilibrio del cuerpo y la mente y estarían por fuera de las leyes del ordenamiento cósmico”, dice Rozental.

“Así que dedujeron que las bajas pasiones, la ira y la violencia podían excitarse por este medio, así como el sosiego y la tranquilidad podían inducirse mediante una música armoniosa y dulce”.

Diabolus in musica

Mucho siglos después, cuando el cristianismo había adoptado numerosos principios originados en la cultura griega y en la medida en que la práctica de la liturgia incorporó una diversidad de música, ciertos aspectos desagradables para el hábito auditivo -como el empleo de notas a distancia de segunda- se consideraron malévolos y por tanto, se excluyeron de los cánones musicales de la iglesia.

“Su empleo habría sido la intervención de lo diabólico. Resultaba necesario excluirlas, para evitar la presencia del diablo en la iglesia y en la mente y el espíritu de sus seguidores”, cuenta el experto.

La influencia de Pitágoras se sintió durante siglos en la música.

Todavía para el siglo XIX, algunas de estas ideas provenientes del siglo VI a.C. seguían en práctica.

“El violinista Nicoló Paganini es bien conocido por emplear lo que en latín se denominó como el diabolus in musica, unos acordes llamados también tritonos, que pertenecían a la práctica excluida por las reglas de lo bien ordenado”, señala Rozental.

“No obstante, Paganini fue un favorito del público y contribuyó a debilitar ciertos temoresasociados con lo que se consideraba bello y consonante, feo y disonante, cósmico y caótico, divino y demoníaco”.

Nuestro oído y gusto musical admiten hoy una mayor diversidad numérica que la antiguamente propuesta por los griegos y apreciamos la amplitud del sonido como parte de un cosmos en expansión.

El origen de las matemáticas

Los gustos cambiaron, pero los patrones que encontraron los griegos, no.

Poesía y música: Las nueve musas inspiran a Arión, Orfeo y Pitágoras, con la ayuda de la fuente de toda armonía. 

Los pitagóricos no fueron los primeros en usar algún tipo de matemáticas.

Hay algunas pruebas de que las marcas encontradas en huesos de la era del Paleolítico Superior hace 37.000 años fueron talladas y usadas para contar.

Sin embargo, fueron los primeros en buscar patrones.

Y lo que encontraron parece indicar que las matemáticas están a nuestro alrededor y son algo que descubrimos, una parte fundamental del mundo en el que vivimos.

Para ellos, las matemáticas eran tan reales como la música y eran más geniales y elegantes que cualquier cosa que la mente humana pudiera llegar a concebir.

Pero, fue lo que dijo una de las figuras más importantes de la Antigua Grecia sobre el origen de las matemáticas lo que aún hoy es la base de lo que creen muchos matemáticos.

BBC

 

La proporción áurea

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Phi (Φ,φ) es un símbolo cuyo nombre fue puesto en honor de Fidias (V a. C.), autor de grandes hitos arquitectónicos como el Partenón de Atenas.  Varios historiadores consideran que el gran Fidias había utilizado este número en sus obras arquitectónicas.

Fue el matemático estadounidense Mark Barr quien honró a Fidias nombrando al símbolo con Phi (sus iniciales).

Pero hoy vamos a hablar sobre una sucesión que se encuentra en la naturaleza de nuestro mundo, y su vínculo con ese símbolo tan asombroso, conocido como Phi.

La famosa sucesión descubierta por el italiano Fibonacci y el número de oro son prácticamente lo mismo, y demuestran la armonía de la naturaleza.

El matemático Pisano hizo una serie de descubrimientos, en el campo de la aritmética, que asombraron al mundo. Se trata del descubrimiento de la sucesión 0,1,1,2,3,5,8,13. Y resulta que de esta sucesión deriva el número áureo, representado como hemos visto por Phi(Φ,φ).

Tal y como señala Openmind, desde una perspectiva algebraica, para obtener el valor numérico de Phi tenemos que recurrir a la ecuación Φ= a/b.

Sería como sigue: cuando dividimos el total de la longitud del segmento (a+b), entre la parte más larga (a) tenemos el mismo resultado que al dividir la parte más larga (a) entre la más corta(b).

Y ¿cuál es el resultado de esta operación?: 1.6180339887, el número áureo.

¿Y dónde encontramos la proporción áurea?

Desde el logo de Google

A las pirámides de Egipto

En los pétalos de las rosas

O en estructuras cristalinas

¡Nos encanta!

Juegos sobre la proporción áurea (en inglés)

Acertijos

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El vendedor ambulante

Un vendedor ambulante se propuso vender una cesta de 115 naranjas a razón de 10 monedas cada 5 naranjas. En el momento de la venta cambió de opinión e hizo un montón con las 58 naranjas más gordas y otro con las 57 más pequeñas. Las gordas las vendió a 5 monedas cada 2 naranjas y las pequeñas a 5 monedas cada 3 naranjas.

¿Era esto lo mismo que la intención primera?

La botella de vino

Si nos dicen que una botella de vino vale 10 euros y que el vino que contiene cuesta 9 euros más que el envase, ¿cuanto cuestan el vino y el envase por separado?.

Llenar la piscina

Para llenar de agua una piscina hay tres surtidores. El primer surtidor tarda 30 horas en llenarla, el segundo tarda 40 horas y el tercero tarda cinco días. Si los tres surtidores se conectan juntos, ¿cuanto tiempo tardará la piscina en llenarse?.

María y Juan

María tiene un hermano llamado Juan. Juan tiene tantos hermanos como hermanas. María tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuantos chicos y chicas hay en la familia?

El tío y el sobrino

Un tío le dice a su sobrino: ” Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de las dos edades será de 70 años”. ¿Qué edad tienen ahora ambos?

Fuente: acertijos.net

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Edición 2018/2019

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Este año incorporamos los exámenes por internet.

Se trata de nuestra propuesta más importante y el cambio más significativo con respecto a las otras ediciones. Consideramos que es muy positivo para la gestión, los profesores y los alumnos.

Por otro lado será el primer año en que cobremos una cuota de 3 € a los estudiantes, de los cuales 1 € es para el colegio. Así reconocemos el esfuerzo que se realiza desde los institutos. En definitiva, pretendemos tan solo cubrir los gastos del personal administrativo,el programa, los eventos y los premios. Entre nuestros objetivos no está el lucrarnos, sino tan solo reducir los gastos.

La primera fase se inicia en el mes de febrero, y se implementará en cada uno de los centros participantes. En caso de que la prueba se realice online solo es necesario acceder al programa para realizar los exámenes.

La segunda fase se realiza en el mes de mayo y se desarrolla en una de las sedes de nuestra organización. En esta fase, los clasificados a nivel nacional son los finalistas del concurso, y acuden a última ronda, donde se batirán con otros finalistas de diferentes provincias. Para finalizar, se eligen a cinco de los mejores de cada uno de los cursos.

Ceremonia de entrega de premios

Celebramos dos ceremonias al finalizar el concurso. Una de ellas se produce en Cataluña, la comunidad con más participantes. Se realiza a mediados de mayo. En el acto se entregan los diplomas de los mejores clasificados. En el resto de España la ceremonia cuenta con la presencia de personalidades, que dedican unas palabras de agradecimiento a los jóvenes, y se entregan los diplomas y los premios.

Términos y Condiciones

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1 Alcance

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3 La participación en el concurso

(1) Todos los estudiantes residentes en España cursando estudios en los cursos de 4º de primaria a 2º de Bachillerato pueden participar en el concurso.
(2) No existe el derecho legal a participar en la segunda ronda o ronda final. Pangea invita a un cierto número de estudiantes en la segunda ronda (en función del número centros educativos inscritos). La selección de los estudiantes se realiza individualmente por cada centro participante. Los alumnos que han logrado mayor puntuación de cada curso participante en cada centro educativo se les invita a la ronda final. Estos pueden decidir acudir o no.
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7 Privacidad

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(3) El lugar de jurisdicción, en la medida legalmente permitida, está en la sede de la Asociación Pangea en Madrid.

Reglamento

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1. Las inscripciones solo se realizan a través de los centros educativos. Los profesores responsables de cada centro pueden inscribir vía online a su escuela y a los alumnos que deseen (normalmente a todos por cada curso participante). El plazo de inscripción comienza a mediados de octubre de 2018 y permanecerá abierto hasta mediados de febrero de 2019. 

2. Después de registrarse recibirán una confirmación a la dirección de email indicada por el centro.

3. Para la edición 2019 se puede inscribir a alumnos a partir de 4º de Primaria hasta 2º de Bachillerato. El número de participantes que inscribe cada centro educativo puede ser modificado hasta la fecha límite de inscripción.

4. La versión online contará con las claves correspondientes para poder hacerlo en ordenador, tablet o móvil.

5. El profesor debe procurar cumplir las reglas y normas de las pruebas y leerlas a la clase. El tiempo se puede ajustar de forma variable por el profesor. .

6. Los resultados se podrán ver en el programa informático

7. En un plazo lo más corto que nos sea posible, los centros podrán encontrar en nuestra web sus alumnos seleccionados para la siguiente ronda, en el caso de que los hubiera, así como las puntuaciones de todos los participantes. Los alumnos finalistas se seleccionarán en función de la obtención de la puntuación más alta a nivel nacional.

En caso de empate se tendrán en cuenta todos los factores meritorios: la puntuación obtenida en las preguntas de dificultad más alta, el número de respuestas contestadas y en caso de igualdad, se desempatará de modo aleatorio (al azar).

9. Los estudiantes finalistas serán seleccionados para la Ronda Final, que por cada región se celebra en una sede de Pangea diferente (se informará con suficiente antelación de la hora y dirección exacta a la que tendrán que acudir los finalistas en el email donde comunicamos los resultados). Los gastos que conlleven los desplazamientos de los alumnos finalistas a la sede donde realizarán la prueba de la Ronda Final serán asumidos por las familias del finalista o por el Centro, si este así lo decidiera, no siendo Pangea en ningún caso responsable de este gasto.

10. Después de la ronda final, los resultados de todos los finalistas serán descargados en la aplicación web al día siguiente

11. A los 5 mejores clasificados de cada curso a nivel estatal se les invita a la Ceremonia Final en Mayo para recoger personalmente sus diplomas y premios. En ningún caso se enviarán los premios por correo ordinario. A la Ceremonia los alumnos podrán venir acompañados por un máximo de tres familiares. Los profesores de los ganadores recibirán también una invitación para la ceremonia, donde podrán acompañar a sus alumnos y recibirán una certificación por su participación en nuestra iniciativa.

12. Enviaremos por correo la solicitud de los centro educativos los diplomas del resto de los finalistas que no se clasificaron entre los mejores de España pero que sí participaron en la Ronda Final.

13. Los ganadores de España de las categorías de la ESO y de Bachillerato (el primer clasificado de cada uno de los cursos) ganan también un viaje a la ceremonia final internacional en Alemania en Junio, donde se reunirán con otros ganadores del Concurso Pangea de diversos países. Los gastos del viaje y alojamiento para todos los finalistas serán asumidos por Pangea, así como el coste de entradas a museos u otras actividades turísticas. Los finalistas realizarán el viaje con personal de Pangea.

14. La Asociación Pangea no asume en ningún caso los traslados de los alumnos ganadores ni al lugar de celebración de las Ronda Finales, ni a la Ceremonia, ni al aeropuerto de salida del viaje a Alemania. Todos los viajes mencionados anteriormente correrán por cuenta de las familias del alumno en cuestión.

15. Para una mayor información y ampliación de los detalles relativos al reglamento, les invitamos a que lean detenidamente los Términos y Condiciones del Concurso.

El equipo Pangea le agradece su dedicación y cooperación. Deseamos mucho éxito a todos los participantes! Si tienen cualquier preguntas sobre el concurso, no duden en ponerse en contacto con nosotros a través de nuestro formulario de contacto, o enviándonos directamente un correo a nuestro email: info@concursopangea.com